L’étude des séries de fonctions et des propriétés associées constitue un domaine clé de l’analyse mathématique. Elle permet d’explorer des concepts tels que la convergence (simple et uniforme), les prolongements analytiques, et les conditions d’interversion des limites, sont, dérivées et intégrales. La fonction zêta de Riemann, exemple emblématique, illustre ces notions en dépendant des séries infinies aux structures profondes des nombres premiers. Les théorèmes fondamentaux, comme ceux de continuité, de dérivation et d’intégration terme à terme, ou encore le théorème de la limite monotone, fournissent les outils nécessaires pour assurer la rigueur dans l’étude de ces objets et pour étendre leurs applications aux sciences mathématiques et physiques.

La convergence, qu’elle soit simple ou uniforme, joue un rôle clé dans cette étude. La convergence simple se focalise sur les comportements locaux pour chaque point du domaine, tandis que la convergence uniforme garantit la préservation des propriétés globales telles que la continuité, l’intégrabilité et la dérivabilité. Ces distinctions permettent de définir des conditions sous lesquelles les séries de fonctions peuvent être manipulées de manière simple.

Les théorèmes associés, tels que ceux de continuité, d’interversion limitée-somme, de dérivation et d’intégration terme à terme, fournissent les outils nécessaires pour traiter ces séries. Ils permettent, par exemple, de justifier le passage de limites ou l’échange d’opérations sur les séries dans un cadre précis. Ces résultats trouvent des applications importantes dans la résolution des équations différentielleset  le développement de séries de Fourier.

Who this course is for:

• Étudiants en classes préparatoires scientifiques (CPGE).
• Candidats aux concours des grandes écoles françaises.
• Étudiants en premier cycle universitaire.
• Candidats aux concours d’agrégation de mathématiques.